이상 기체의 몰비열

기체의 경우 같은 열을 가하더라도 부피가 얼마큼 변하느냐에 따라 온도가 올라가는 정도가 달라집니다. 그래서 한 변수를 고정시킨 후 몰비열을 구해야 합니다. 여기서는 이상 기체의 경우 부피를 고정시킨 등적 몰비열과 압력을 고정시킨 등압 몰비열을 어떻게 구할 수 있는지 알아보겠습니다.

등적 몰비열

등적 몰비열을 $C_V$라 하면

$$Q=n{C}_V\mathrm{\Delta }T\cdots (1)$$

$$C_V=\frac{Q}{n\cdot \mathrm{\Delta }T}$$

근데 기체의 원자의 개수를 알면 $Q$와 $\mathrm{\Delta }T$를 모르고도 비열을 구할 수 있습니다. 예를 들어 단원자 기체의 경우 비열을 구하는 과정은 다음과 같습니다.

등적 과정이므로

$$\mathrm{\Delta }{E}_{int}=Q+W$$

$$W=0$$

$$\mathrm{\Delta }{E}_{int}=Q\cdots (2)$$

식 (1)을 식 (2)에 대입하면

$$\mathrm{\Delta }{E}_{int}=n{C}_V\mathrm{\Delta }T$$

이를 $C_V$에 대해 정리하면

$$C_V=\frac{1}{n}\frac{d{E}_{int}}{dT}\cdots (3)$$

한편 단원자 기체라면 병진 운동 에너지만 존재하므로

$$E_{int}=K_{tottrans}=\frac{3}{2}nRT\cdots (4)$$

식 (4)를 식 (3)에 대입하면

$$C_V=\frac{3}{2}R=12.5J/mol\cdot K$$

등압 몰비열

등압 몰비열을 $C_P$라 하면

$$Q=n{C}_P\mathrm{\Delta }T$$

$$C_P=\frac{Q}{n\cdot \mathrm{\Delta }T}$$

등적 몰비열과 등압 몰비열의 관계

등적 몰비열 측면

위에서 언급한 바에 따르면

$$\mathrm{\Delta }{E}_{int}=n{C}_V\mathrm{\Delta }T$$

등압 몰비열 측면

$$\mathrm{\Delta }{E}_{int}=Q+W=n{C}_P\mathrm{\Delta }T+(-P\mathrm{\Delta }V)\cdots (1)$$

이상 기체이므로

$$PV=nRT$$

압력이 일정하므로

$$P{V}_i=nR{T}_i$$

$$P{V}_f=nR{T}_f$$

$$P{V}_f-P{V}_i=nR{T}_f-nR{T}_i$$

$$P\mathrm{\Delta }V=nR\mathrm{\Delta }T\cdots (2)$$

(2)를 (1)에 대입하면

$$\mathrm{\Delta }{E}_{int}=n{C}_P\mathrm{\Delta }T-nR\mathrm{\Delta }T$$

합치기

등적 과정이나 등압 과정이나 온도 변화가 같으면 내부 에너지 변화는 동일하므로

$$\mathrm{\Delta }{E}_{int}=n{C}_V\mathrm{\Delta }T=n{C}_P\mathrm{\Delta }T-nR\mathrm{\Delta }T$$

위 식을 정리하면

$$C_V=C_P-R$$

즉, 등적 몰비열은 등압 몰비열에서 $R$을 뺀 값입니다.