3차원 벡터 외적 구하기

크기와 사이의 각을 통해 구하기

방식은 다음과 같습니다.

\(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\)의 크기를 각각 \(a\), \(b\)라 하고,

\(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) 사이의 각을 \(\theta\)라 하고,

\(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\)가 이루는 평면에 수직인 방향을 가진 단위벡터를 \(\overrightarrow{c}\)라 하면

$$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = ab\sin\theta\overrightarrow{c}$$

성분을 통해 구하기

벡터 \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\)를 다음과 같이 정의하겠습니다.

$$\overrightarrow{a} = (a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}), \overrightarrow{b} = (b_x\hat{i}+b_y\hat{j} + b_z\hat{k})$$

(\(\hat{i}\), \(\hat{j}\), \(\hat{k}\)는 각각 \(x\), \(y\), \(z\)축 방향의 단위벡터입니다.)

그럼 \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\)는 다음과 같습니다.

$$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}) \times (b_x\hat{i} + b_y\hat{j} + b_z\hat{k})$$

분배 법칙이 성립하므로 다음과 같이 전개할 수 있습니다.

$$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = a_x b_x(\hat{i} \times \hat{i}) + a_xb_y(\hat{i} \times \hat{j}) + a_xb_z(\hat{i} \times \hat{k}) + a_yb_x(\hat{j} \times \hat{i}) + a_yb_y(\hat{j} \times \hat{j}) + a_yb_z(\hat{j} \times \hat{k}) + a_zb_x(\hat{k} \times \hat{i}) + a_zb_y(\hat{k} \times \hat{j}) + a_zb_z(\hat{k} \times \hat{k})$$

단위벡터끼리의 외적은 다음과 같으므로

$$\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 영벡터$$

$$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}, \hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}, \hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}, \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}, \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$$

다음과 같이 변형할 수 있고,

$$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = a_xb_y(\hat{k}) - a_xb_z(\hat{j}) - a_yb_x(\hat{k}) + a_yb_z(\hat{i}) + a_zb_x(\hat{j}) - a_zb_y(\hat{i})$$

이를 정리하면 다음과 같습니다.

$$
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} =
(a_yb_z - a_zb_y)(\hat{i}) + (a_zb_x - a_xb_z)(\hat{j}) + (a_xb_y - a_yb_x)(\hat{k})
$$

위 식을 자세히 보면 다음 행렬의 행렬식입니다.

$$
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_y & a_z \\
b_y & b_z
\end{vmatrix}
\hat{i}
-
\begin{vmatrix}
a_x & a_z \\
b_x & b_z
\end{vmatrix}
\hat{j}
+
\begin{vmatrix}
a_x & a_y \\
b_x & b_y
\end{vmatrix}
\hat{k}
$$